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인지과학과 문제해결: 수학 공부와 문제해결

스터디플래닛/문제해결

by 엘빌스 2019. 5. 11. 23:52

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인지과학과 문제해결

 

prologue

Problem Space

Top-down VS Bottom-up

2018학년도 수학 영역 30번 (1)

2018학년도 수학 영역 30번 (2)

수학 공부와 문제해결

 

수학 공부와 문제해결

 

짧지는 않았지만 하지 못한 이야기도 많다.

그렇지만 많이 넣어도 다 받아들일 수는 없기 때문에여기선 이정도로 만족한다.

지금까지 이야기를 정리하면서 수학 공부에 어떻게 실전적으로 적용할 지를 이야기하면서 글을 마무리한다.

 

처음 다룬 개념은 문제 해결에 대한 뉴얼과 사이먼의 관점이다.

문제해결은 문제 공간에서 원하는 문제 상태를 검색하는 것이다.

조작자(Operator) 문제 상태를 변화시킬 수 있는 행위나 도구이다.

함수를 그래프로 표현하는 것도 조작자의 일종이다한 문제 상태를 다른 문제 상태로 바꾸기 때문이다.

조작자를 의식하면 문제를 풀 때 조작자를 적용함으로써 바뀌는 문제 상태를 모니터링하게 된다.

수많은 조작자 중에 그것을 적용한 이유가 그것으로 원하는 문제 상태에 더 가까이갈 수 있다는 판단 때문이니 어쩌면 당연한 결과다.

조작자 개념은 수학 개념을 공부할 때도 도움이 된다예를 들어 조작자 개념을 의식하면 y = x^n을 미분하면 y`=nx^n-1이라고만 공부할 수가 없게 된다미분은 이 상태를 어떤 상태로 바꾸었는가라는 질문이 자연스럽게 이어지기 때문이다그런 질문은 자연스럽게 미분을 배우는 이유를 탐구하게 만든다.

결국 보다 깊게 미분에 대해 이해할 수 있게 된다.

 

수학 문제가 어려운 이유는 여러 가지가 있지만 조작자가 많은 것도 그 중 하나다어떤 상황에서 어떤 조작자를 적용해야할 지 잘 모르기 때문이다.

따라서 평소에 수학 문제 상태의 조작자 즉수학의 공식법칙성질 등이 '어떤상태에서 '어떤상태로 변화시키는지를 정리해두는 게 좋다.

수학 선생님들이 이등변삼각형에서 수선의 발원의 접선에서 직각원에서 반지름 표시 등을 반사적으로 하도록 가르치는 것도 다 같은 이유일 것이다.

보조선이라는 조작자를 적용하면 얻어지는 문제 상태의 변화중요한 단서의 노출를 얻을 수 있도록 말이다.

 

두 번째로 다룬 개념은 순행 추리와 역행 추리이다.

순행 추리는 단서에서 목표로 올라가는 방식이고

역행 추리는 목표에서 단서로 내려가는 방식이다.

수학 문제 풀이에선 순행 추리가 선호되지만 상황에 따라 적합한 방식이 있으므로 적재적소하게 쓰면 된다.

순행 추리역행 추리를 풀이에 적용하는 것에 대해선 크게 할 말이 없다.

다만 공부하는 과정에서 생길 수 있는 오해를 한번 짚고 넘어가려고 한다.

순행 추리로 문제를 풀어 놓으면 전형적인 해설지형 풀이가 된다단서를 해석하고 단서를 해석하니 답이다.

이게 두 가지 문제를 일으킬 수 있다.

하나는 대충은 알고 있었을 경우에 '아 맞다 그렇지아는 건데!'라고 하면서 대수롭지 않게 넘어가게 만들 수 있다는 문제이다못 풀어서 해설을 보고 있으면 좀 더 겸손해질 필요가 있다.

해설지 풀이가 매끄러운 이유는 처음부터 문제 구조를 파악한 상태에서 단서들을 거기에 맞추며 전개하기 때문이다.

그리고 막혀서 해설지를 보고 있는 우리는 알기야 알았겠지만그런 구조를 파악할 수 있는 힘이 부족했기 때문에 실패한 것이다생각보다 작은 차이가 아닐 수 있다는 말이다.

다른 하나는 너무 모를 때이다. '아니 이걸 어떻게 사람이 생각하냐고!!' 이렇게 되면 수학과 멀어질 뿐이다어려운 문제도 사실 쉬운 문제라고 하려는 게 아니다다만 사람이 어떻게 생각하느냐와 같은 낭비적인 생각보다아직 이 정도 문제의 구조를 파악할 충분한 공부와 경험이 부족하다고 느끼는 게 좋다고 생각한다.

이왕 이렇게 된 거 그렇게 풀어가는 논리를 지금 기회에 배워도 좋고.

 

 

역행 추리로 문제를 풀어 놓으면 수알못도 똑똑해진 느낌을 받을 수 있다.

아니 실은 똑똑해진 것도 아니고실제로 그렇게 따라 풀지도 못하는데.

풀이를 보면 감동할 수는 있지만 그걸 따라하다간 실전에서 크게 얻어맞는다.

역행 추리는 단서가 적어도(실제로 적든파악을 못해서 적게 느끼든문제에 접근할 수 있는 대신 기억 용량에 부담을 준다여유롭게 풀어나갈 때는 괜찮다기억이 살짝 안 나도 잠깐 생각해보거나 다시 돌아가서 보면 되니까.

문제는 긴장할 때시간이 촉박할 때다.

결국 실력보다 못 봤다고 생각하게 된다.

초보 시절 공부를 시작할 때는 차근차근 이해시켜줄 수 있고 명확한 근거가 있는 역행 추리가 좋을 수 있다.

하지만 언제까지고 거기에 머물러 있을 수는 없다그렇게 공부하면서 문제 보는 눈을 기르고 많은 경험을 쌓아둬야 한다그래서 나중에는 굳이 역행 추리를 하지 않아도 척척 문제를 풀 수 있어야 한다.

그렇게 하지 않는다면현장에서 인생의 쓴 맛을 느낄 수도 있을 것이다.

물론 절대는 없지만.

 

세 번째로 다룬 개념은 수학적 사고이다.

수학적 사고를 짧고 굵게 표현하면 구체화와 일반화의 반복이다.

구체화는 실제로 해보는 과정이다.

추상적인 설명이 있으면 구체적인 대상을 놓고 직접 적용해보거나구체적인 예들을 만들면서 관찰한다.

일반화는 구체화의 결과에서 공통적인 패턴을 찾아내는 과정이다또는 일반적인 기호를 도입해서 대상을 표현하는 과정이다.

수학에서 가설을 세우는 것도 중요한데구체화나 일반화를 하다보면 자연스럽게 만들어지는 게 가설이다.

가설은 논리에 맞는 것 같지만 사실인지 검증되지 않은 문장이다.

그래서 가설을 입증하는 과정이 문제 풀이의 중요한 요소가 된다.

문제를 풀다가 더 막힌 상황에서 암초를 만났다라고 했다.

'암초'라는 개념은 잘 쓰면 정말 유용하다.

생각이 멈추고괜히 지금까지 풀어온 게 틀렸나 따라 읽어보는 그 순간이 암초를 만난 순간이다.

암초를 만나면 암초를 만난 상황을 구체적으로 적어야 한다그래야 뭔가 대책이 생긴다그 다음초심으로 돌아가서 알고 있는 것과 구해야하는 것을 확인한다.

그렇게 해도 안 되면 문제를 다른 관점에서 바라봐야 한다그렇게 관점을 다르게표상을 다르게 하면 볼 수 없었던 것이 보이기도 하기 때문이다.

 

문제 표상의 중요성을 보여주는 고전적인 문제를 하나 가져왔다.

흰색과 검은색이 교차해서 놓인 체스판을 생각해보자여기서 반대편에 있는 두 모서리를 잘라내었다이때 블록 두개를 덮을 수 있는 도미노가 31개 있다고 하다이때 도미노로 체스판 전체를 덮는 게 가능할까?

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한번 고민해보기 바란다해결 방법은 적지 않겠다궁금하면 체스판 도미노로 검색해보면 된다.

 

그래도 암초를 못 벗어난다면 다른 문제를 풀거나 휴식을 취하는 등 그 문제에서 벗어나자.

휴식을 취할 때 무의식이 문제를 푼다는 낭설이 있는데낭설이다.

실제로는 기존의 (실패한접근 방법을 잊어버리고 새롭게 접근해서 문제가 풀리는 것이다.

그러니 넘어가려면 잠깐 동안은 아예 잊어주는 편이 오히려 좋다.

 

수학적 사고에서 문제 풀이 과정을 진입  공격  검토라고 했다.

처음에 수학 문제에 진입하기 위해서 아는 것과 원하는 것(목표)을 확인하는 게 중요하다그 과정에서 구체화를 적극적으로 사용해 문제를 알아보는 것도 좋은 방법이다그렇게 하다보면 자연스럽게 공격 단계로 들어간다.

공격 단계는 당연하게도 문제를 푸는 주된 단계이다구체화와 일반화를 시도하며 암초를 만나기도 하고가설을 세우기도 하면서 문제를 풀어 나간다.

최종 단계는 시험이 아니라 공부라면 가장 중요한 단계인 검토 단계이다.

검토는 풀이 과정을 다시 확인해보면서 시작한다계산 실수를 확인하거나 미흡했던 가설을 입증하거나 더 좋은 풀이를 떠올려보거나 한다이때 풀이 검토하면서 핵심적인 생각을 정리해두면 좋다.

수학 문제 풀이의 공부는 검토 단계에서 이루어지지만 실상 답 맞추면 다시 안 보는 경향 때문에 가장 무시 받는 단계이다풀이 과정이 눈에 선하고 쉬운 문제에 다시 매달릴 필요는 없다하지만 단지답을 맞혔다는 이유만으로 무시 받는 문제가 있는지 생각해봤으면 좋겠다.

 

 

 

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